MATEMÁTICAS M3

viernes, 13 de diciembre de 2013

CASOS DE FACTORIZACION

VÍDEO SOBRE EL CASO 3 y 8 DE FACTORIZACION

http://www.youtube.com/watch?v=RnvPbEIHe5Y

http://www.youtube.com/watch?v=a_9fuWnHKPU&feature=c4-overview&list=UUmybCZ51VvF14hRf4IBi4Dg

10 CASOS DE FACTORIZACION

DIAPOSITIVAS

sábado, 7 de diciembre de 2013

Cálculo por el método de Gauss Sea A una matriz cuadrada de orden n .
Para calcular la matriz inversa de A , que denotaremos como A −1 , seguiremos los siguientes pasos: 1 Construir una matriz del tipo M = (A | I) , es decir, A está en...

1._ Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria:

2._ La ampliamos con la matriz identidad de orden 3

3.- Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A⁻¹

4.- Por ultimo obtenemos la respuesta que es la inversa de la matriz

miércoles, 4 de diciembre de 2013

MATRIZ INVERSA METODO DE GAUSS

MATRIZ INVERSA

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

Dimensión de una matriz

El numero de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz.

Así una matriz sera de dimensión 2x4, 3x2, 2x5 etc, si la matriz tiene el mismo numero de filas que de columnas, se dice que es de orden 2, 3, etc.

Este método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz identidad (I) y hacer operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a A como a I, con el objeto de transformar la matriz A en la matriz identidad, la matriz resultante de las operaciones sobre I es la inversa de A (A^-1).

Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:

a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo, sustituimos la fila 2 por ella multiplicada por 3.

b) Permutar dos filas
c) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras.

EJEMPLOS

EJEMPLOS APLICATIVOS

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A^-1, seguiremos los siguientes pasos:

1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

2._ Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en ella el resultado derecho será la matriz inversa: A^-1.

Utilizando este método nos queda así la matriz del ejercicio planteado:

Sigue el siguiente paso de este ejercicio con la 2, 1, + o -

Luego aquí ya tenemos la respuesta de este ejercicio en el cual ya encontramos la inversa de la matriz.

Estos son los pasos para calcular la inversa de una matriz por el método de Gauss.

MATRICES REGLA DE SARRUS

MATRICES

La regla de Sarrus es un método fácil para memorizar y calcular el determinante de una matriz 3×3. Recibe su nombre del matemático francés Pierre Frédéric Sarrus..

Ejemplo de matrices

EJEMPLO DE UN EJERCICIO APLICATIVO:

Considérese la matriz 3×3:

$M = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$

Su determinante se puede calcular de la siguiente manera:

En primer lugar, repetir las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la misma de manera que queden cinco columnas en fila. Después sumar los productos de las diagonales descendentes (en línea continua) y sustraer los productos de las diagonales ascendentes (en trazos). Esto resulta en:

$\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =$

~~$= a_{11} a_{22} a_{33} + \; a_{12} a_{23} a_{31} + \; a_{13} a_{21} a_{32} - \; a_{31} a_{22} a_{13} - \; a_{32} a_{23} a_{11} - \; a_{33} a_{21} a_{12}$~~

Un proceso similar basado en diagonales también funciona con matrices 2×2:

$\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}$

Esta regla nemotécnica es un caso especial de la fórmula de Leibniz y ha sido conocido que no puede aplicar para matrices mayores a 3×3. Sin embargo, en octubre del año 2000, el matemático Gustavo Villalobos Hernández de la Universidad de Guadalajara, en México, encontró un método para calcular el determinante de una matriz de 4×4, sin reducir a determinantes de 3×3 con la matriz adjunta y el menor complementario. Su resultado es una extensión completa de la Regla de Sarrus, ya que utiliza el mismo método, obteniendo directamente los 24 términos requeridos para su cálculo..

lunes, 2 de diciembre de 2013

MATRICES

MATRICES

Se puede definir a una matriz como un conjunto de elementos (numeros) ordenados en filas y columnas

En matemáticas, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Ejemplo:

Esta es una matriz de (m) filas y (n) columnas, es decir de dimension ( m x n). Esta matriz también se la puede representar de la forma siguiente A = (aij) m x n.

Si el numero de filas y de columnas es igual a (m = n), entonces se dice que la raiz es de orden (n).

2. IGUALDAD DE MATRICES
*Dos matrices son iguales* cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en ambas son iguales**
	Para que las matrices A y B sean iguales, se tiene que cumplir que a = 7 y b = 5.

TIPOS DE MATRICES

Matriz Fila
Matriz Columna
Matriz Rectangular
Matriz Transpuesta
Matriz Nula
Matriz Cuadrada

CLASES DE MATRICES CUADRADAS

1. Matriz triangular superior

2. Matriz triangular inferior

3. Matriz diagonal

4. Matriz escalar

5. Matriz identidad o unidad

6. Matriz regular

7. Matriz singular

8. Matriz idempotente

9. Matriz involutiva

10. Matriz simétrica

11. Matriz antisimetrica o hemisimetrica

12. Matriz ortogonal

FUNCIONES CON RADICALES

ECUACIONES CON RADICALES

Usaremos la siguiente propiedad para resolver estas ecuaciones:
Cualquier raíz de una ecuación dada, puede ser también raíz de otra ecuación que se obtenga al
igualar los cuadrados de los dos miembros de la ecuacion propuesta.
Empero, al elevar al cuadrado los dos miembros de una ecuación, se obtienen valores para la incógnita que pueden resultar incorrectos para la ecuación original, tales valores se llaman raíces extrañas de la ecuación.
Esto debido a que los radicales de índice par presentan problemas de in definición con subradicales negativos.
Para resolver una ecuación que comprende radicales se efectúan los siguientes pasos:
1. Se deja en uno de los miembros un solo radical, trasladando al otro miembro los demás términos.
2. Se elevan al cuadrado, al cubo, etc. los dos miembros de la ecuación obtenida y se igualan entre si
(depende del índice de la raíz involucrada).
3. Si la ecuación obtenida no contiene radicales se resuelve normalmente. Si por el contrario, contiene
uno o más radicales se repiten los pasos 1 y 2 hasta obtener una ecuación sin radicales. Luego se
resuelve esta última ecuación.
4. Se sustituyen en la ecuación original los valores obtenidos en el paso anterior y se determinan las
raíces extrañas.El proceso de liberar la ecuacion de radicales se conoce con el nombre de racionalización de la ecuación.