MATEMÁTICAS M3: diciembre 2013

martes, 17 de diciembre de 2013

SIMBOLIZACION DE CONECTORES LOGICOS

SIMBOLIZACION DE CONECTORES

OBJETIVO: Utiliza la lógica para simbolizar conectores lógicos y facilitar su manejo, sin analizar sus valores de verdad.

Son operadores lógicos los siguientes:

CONJUNCIÓN
DISYUNCIÓN
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
NEGACIÓN
CONDICIONAL
BICONDICIONAL

CONJUNCIÓN: Es la unión de dos proposiciones con la palabra "y" se denomina conjunción.

ejemplo: Sus ojos son azules y los ojos de su hermano también son azules.

Es también útil introducir un símbolo para "y" , los mas comunes son:

(^) y (&)

DISYUNCIÓN: Es la unión de la proposiciones con la palabra "o", se denomina disyunción de las proposiciones.

ejemplo: " Esta es el aula cuatro o es una aula de física "

El símbolo que utilizamos para la disyunción es : (v), (F) o (R)

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA: Utilizamos el mismo ejemplo, si utilizamos la misma proposición.

Sea F la proposición " Esta es el aula cuatro"

y sea R la proposición " Esta es un aula de física"

NEGACIÓN: Cuando a una proposición se le añade el termino de enlace

"no", el resultado se denomina negación de la proposición. Así una negación es una proposición compuesta que utiliza el conector lógico "no". El termino de enlace "no" es análogo a los otros conectores lógicos puesto que forman proposiciones compuestas .

ejemplo: "Las elecciones presidenciales no siempre terminan en agonía"

se lo simboliza: ¬ ~ la proposición del ejemplo queda simbolizada como ¬ (p) y ~ (p).

CONDICIONAL: La palabra "si" procede a la primera proposición, y la palabra "entonces" procede a la segunda proposición.

Se lo simboliza: $\Rightarrow$ así ← La primera proposición simple es "llueve hoy" y

la segunda proposición simple es "se suspende el picni".

Para poder simbolizar completamente esta proposición condicional, emplearemos el símbolo siguiente para el conector lógico.

¬p → Q

Si hoy no es lunes entonces Pedro sabe matemáticas

(s^¬ Q) →p

Si Ruth tiene 18 años y Pedro no sabe matemáticas entonces es lunes.

BICONDICIONAL: Cuando se unen dos proposiciones mediante las palabras : " ...si y solo si.." se encuentran entre dos proposiciones simples. El signo aparece como 2 signos condicionales que van en sentido opuesto. Efectivamente, una proposición bicondicional se parece extraordinariamente a 2 proposiciones condicionales.

ejemplo: " Estos campos se inundan si y solo si el agua alcanza esta altura". Se escogen las letras mayúsculas para las proposiciones simples.

p= "Estos campos se inundan"

q= " El agua alcanza esta altura"

Ahora vemos que es equivalente a tener:

FIN

LOGICA MATEMATICAS

LÓGICA MATEMÁTICAS

La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica.

EN QUE SE DIVIDE:

La lógica matemática suele dividirse en cuatro teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Actualmente se usan indiferentemente como sinónimos las expresiones: lógica simbólica (o logística), lógica matemática, lógica teorética y lógica formal.

La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.

TABLAS DE VERDAD

Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.

Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.

EJEMPLO:

Verdadero

El valor verdadero se representa con la letra V; si se emplea notación numérica se expresa con un uno: 1; en un circuito eléctrico, el circuito está cerrado.

Falso

El valor falso se representa con la letra F; si se emplea notación numérica se expresa con un cero: 0; en un circuito eléctrico, el circuito está abierto.a asignar a sus componentes.

Variable

Para una variable lógica A, B, C, ... que pueden ser verdaderas V, o falsas F, los operadores fundamentales se definen así:

$\begin{array}{|c||c|} A & A \\ \hline V & V \\ F & F \\ \hline \end{array}$

Negación

La negación es un operador que se ejecuta, sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.

$\begin{array}{|c||c|} A & \neg A \\ \hline V & F \\ F & V \\ \hline \end{array}$

Conjunción

La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típica mente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas

La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:

$\begin{array}{|c|c||c|} A & B & A \and B \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & F \\ \hline \end{array}$

Que se corresponde con la columna 8 del algoritmo fundamental.

Disyunción

La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

$\begin{array}{|c|c||c|} A & B & A \or B \\ \hline V & V & V \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & F \\ \hline \end{array}$

Que se corresponde con la columna 2 del algoritmo fundamental.

Implicación o Condicional

El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.

La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

$\begin{array}{|c|c||c|} A & B & A \to B \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & V \\ F & F & V \\ \hline \end{array}$

Que se corresponde con la columna 5 del algoritmo fundamental.

viernes, 13 de diciembre de 2013

CASOS DE FACTORIZACION

VÍDEO SOBRE EL CASO 3 y 8 DE FACTORIZACION

http://www.youtube.com/watch?v=RnvPbEIHe5Y

http://www.youtube.com/watch?v=a_9fuWnHKPU&feature=c4-overview&list=UUmybCZ51VvF14hRf4IBi4Dg

10 CASOS DE FACTORIZACION

DIAPOSITIVAS

sábado, 7 de diciembre de 2013

INVERSA DE UNA MATRIZ

MATRIZ INVERSA 2da CLASE

Cálculo por el método de Gauss Sea A una matriz cuadrada de orden n .
Para calcular la matriz inversa de A , que denotaremos como A −1 , seguiremos los siguientes pasos: 1 Construir una matriz del tipo M = (A | I) , es decir, A está en...

1._ Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria:

2._ La ampliamos con la matriz identidad de orden 3

3.- Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A⁻¹

4.- Por ultimo obtenemos la respuesta que es la inversa de la matriz

miércoles, 4 de diciembre de 2013

MATRIZ INVERSA METODO DE GAUSS

MATRIZ INVERSA

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

Dimensión de una matriz

El numero de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz.

Así una matriz sera de dimensión 2x4, 3x2, 2x5 etc, si la matriz tiene el mismo numero de filas que de columnas, se dice que es de orden 2, 3, etc.

Este método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz identidad (I) y hacer operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a A como a I, con el objeto de transformar la matriz A en la matriz identidad, la matriz resultante de las operaciones sobre I es la inversa de A (A^-1).

Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:

a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo, sustituimos la fila 2 por ella multiplicada por 3.

b) Permutar dos filas
c) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras.

EJEMPLOS

EJEMPLOS APLICATIVOS

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A^-1, seguiremos los siguientes pasos:

1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

2._ Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en ella el resultado derecho será la matriz inversa: A^-1.

Utilizando este método nos queda así la matriz del ejercicio planteado:

Sigue el siguiente paso de este ejercicio con la 2, 1, + o -

Luego aquí ya tenemos la respuesta de este ejercicio en el cual ya encontramos la inversa de la matriz.

Estos son los pasos para calcular la inversa de una matriz por el método de Gauss.

MATRICES REGLA DE SARRUS

MATRICES

La regla de Sarrus es un método fácil para memorizar y calcular el determinante de una matriz 3×3. Recibe su nombre del matemático francés Pierre Frédéric Sarrus..

Ejemplo de matrices

EJEMPLO DE UN EJERCICIO APLICATIVO:

Considérese la matriz 3×3:

$M = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$

Su determinante se puede calcular de la siguiente manera:

En primer lugar, repetir las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la misma de manera que queden cinco columnas en fila. Después sumar los productos de las diagonales descendentes (en línea continua) y sustraer los productos de las diagonales ascendentes (en trazos). Esto resulta en:

$\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =$

~~$= a_{11} a_{22} a_{33} + \; a_{12} a_{23} a_{31} + \; a_{13} a_{21} a_{32} - \; a_{31} a_{22} a_{13} - \; a_{32} a_{23} a_{11} - \; a_{33} a_{21} a_{12}$~~

Un proceso similar basado en diagonales también funciona con matrices 2×2:

$\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}$

Esta regla nemotécnica es un caso especial de la fórmula de Leibniz y ha sido conocido que no puede aplicar para matrices mayores a 3×3. Sin embargo, en octubre del año 2000, el matemático Gustavo Villalobos Hernández de la Universidad de Guadalajara, en México, encontró un método para calcular el determinante de una matriz de 4×4, sin reducir a determinantes de 3×3 con la matriz adjunta y el menor complementario. Su resultado es una extensión completa de la Regla de Sarrus, ya que utiliza el mismo método, obteniendo directamente los 24 términos requeridos para su cálculo..

lunes, 2 de diciembre de 2013

MATRICES

MATRICES

Se puede definir a una matriz como un conjunto de elementos (numeros) ordenados en filas y columnas

En matemáticas, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Ejemplo:

Esta es una matriz de (m) filas y (n) columnas, es decir de dimension ( m x n). Esta matriz también se la puede representar de la forma siguiente A = (aij) m x n.

Si el numero de filas y de columnas es igual a (m = n), entonces se dice que la raiz es de orden (n).

2. IGUALDAD DE MATRICES
*Dos matrices son iguales* cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en ambas son iguales**
	Para que las matrices A y B sean iguales, se tiene que cumplir que a = 7 y b = 5.

TIPOS DE MATRICES

Matriz Fila
Matriz Columna
Matriz Rectangular
Matriz Transpuesta
Matriz Nula
Matriz Cuadrada

CLASES DE MATRICES CUADRADAS

1. Matriz triangular superior

2. Matriz triangular inferior

3. Matriz diagonal

4. Matriz escalar

5. Matriz identidad o unidad

6. Matriz regular

7. Matriz singular

8. Matriz idempotente

9. Matriz involutiva

10. Matriz simétrica

11. Matriz antisimetrica o hemisimetrica

12. Matriz ortogonal