MATEMÁTICAS M3: 2014

viernes, 7 de febrero de 2014

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

CONCEPTO:

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

6 Funciones trigonométricas

TRIANGULO RECTÁNGULO

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: $\alpha$ , del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo $\alpha$ .
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo $\alpha$ .

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

ejercicios:

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jueves, 30 de enero de 2014

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

RECTAS PARALELAS

Una Recta es una sucesión infinita de puntos, situados todos en una misma dirección, en tanto, esa sucesión se caracteriza por ser continúa e indefinida, por tanto, una recta no tiene ni principio ni fin; junto al plano y al punto, la recta es uno de los entes geométricos fundamentales. Y paralela es un adjetivo que se emplea para referirse a aquello semejante, correspondiente o que ha sido desarrollado en un mismo tiempo.

las rectas paralelas son aquellas rectas que se encuentran en un mismo plano, presentan la misma pendiente y que no presentan ningún punto en común, esto significa que no se cruzan, ni tocan y ni siquiera se van a cruzar sus prolongaciones.

ejemplos:

rectas crecientes

Una función es creciente cuando al ir aumentando los valores de x van aumentando los valores de y . O al ir disminuyendo los valores de x van disminuyendo los valores de y .
La pendiente de la recta m es positiva.

Para leer en un eje de coordenadas leemos de izquierda a derecha (como escribimos).

Ejemplos de rectas crecientes: 1) y = 4x 2) y = 3x + 2 3) y = 5/3 x + 1 4) y = 3/2 x + 2

Analizar y representar la siguiente recta: y = 3x -1

La pendiente de la recta es 3 , por ser positiva la recta es creciente.

La ordenada en el origen n = -1, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, -1)

rectas decrecientes

Una función es decreciente cuando al ir aumentando los valores de x van disminuyendo los valores de y , o viceversa. La pendiente de la recta m es negativa.
La pendiente de la recta m es negativa.

Ejemplos de rectas decrecientes: 1) y = - 3x 2) y = - 4/3x +1

Analizar y representar la siguiente recta: y = -2x + 2

La pendiente de la recta es -2 , por ser negativa la recta es decreciente.

La ordenada en el origen n = 2, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 2)

Ejercicios rectas paralelas

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.

Ejemplos de rectas paralelas: a) y = 3x y b) y = 3x +1 c) y = -2x + 5 y d) y = -2x -2
Analizar y representar la siguiente recta: y = 4x + 2

La pendiente de la recta es 4 , por ser positiva la recta es creciente.

La ordenada en el origen n = 2, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 2)

Analizar y representar la siguiente recta: y = 4x

La pendiente de la recta es 4 , es paralela a la recta anterior.

La ordenada en el origen n = 0, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 0)

Gráfica de las rectas

RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales de 90º.

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.

Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.

EJERCICIOS:

LA RECTA Y SU SIGNIFICADO

LA RECTA

En geometría euclidiana, la recta o la línea recta, se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, no posee principio ni fin.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos hipocorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

En geometría analítica las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

Características de la recta

La recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos.
En geometría euclidiana, la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta.
La recta puede definirse como el conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

Ecuación de la recta

En un plano cartesiano, podemos representar una recta mediante una ecuación, y determinar los valores que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo, las de un problema de geometría.

Pendiente y ordenada al origen

En una recta, la pendiente $m\,$ es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:

$m=\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)$

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

$y-y_{1}=m(x-x_{1})\!$

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente $m$ es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas X.
La ecuación de la recta que pasa por el punto

$P_{1}=(x_{1},y_{1})\,$ y tiene la pendiente dada $m$ es:

$y-y_{1}=m(x-x_{1})\,$

Ejemplo
La ecuación de la recta que pasa por el punto A $(2,-4)$ y que tiene una pendiente de $-{\frac {1}{3}}$ .

Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:

$y-y_{1}=m(x-x_{1})\!$ $y-(-4)=-1/3(x-2)\!$
$3(y+4)=-1(x-2)\!$
$3y+12=-x+2\!$
$x+3y+12=2\!$

$x+3y+10=0\!$

PENDIENTE DE UNA RECTA

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Se denota con la letra m.

Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Cálculo de la pendiente

Pendiente dado el ángulo

Pendiente dado el vector director de la recta

Pendiente dados dos puntos

Pendiente dada la ecuación de la recta.

Ejemplos

La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 7) es:

La recta que pasa por los puntos A(1, 2), B(1, 7) no tiene pendiente, ya que la división por 0 no está definida.

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

COORDENADAS CARTESIANAS

CONCEPTO:

En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívoca mente la posición de un punto o de otro objeto geométrico.¹
El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo «la coordenada-x». El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica, permite formular los problemas geométricos de forma "numérica".²
Un ejemplo corriente es el sistema que asigna longitud y latitud para localizar coordenadas geográficas. En física, un sistema de coordenadas para describir puntos en el espacio recibe el nombre de sistema de referencia.

Sistema de coordenadas cartesianas

En un espacio euclídeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional (análogamente en $\scriptstyle \mathbb{R} ^{n}$ se pueden definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto ( ${\mathbf r}_{{\text{A}}}={\text{OA}}\,$ ) sobre un eje determinado:

${\mathbf r}_{{\text{A}}}={\text{OA}}=(x_{{\text{A}}},y_{{\text{A}}},z_{{\text{A}}})$

Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O) y un vector ( ${\mathbf {i}}\,$ ) tal que:

${\mathbf {i}}=(1,0,0)$ , cuyo módulo es $|{\mathbf {i}}|=1\,$ .

El valor de la coordenada x de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto sobre el eje x.

$x_{{\text{A}}}={{\text{OA}}\cdot {\mathbf {i}} \over |{\text{OA}}|\cdot |{\mathbf {i}}|}={{\text{OA}} \over |{\text{OA}}|}\cdot {\mathbf {i}}$

EJEMPLOS